MATEMATICAS: junio 2015

Reseña histórica de los números reales

Los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal. En matemáticas los números reales influyen tanto números racionales como a los números irracionales, aquellos que no se pueden expresar e manera fraccionaria tiene infinitas cifras decimales.

Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzo mucho aunque carecía de una base rigurosa, ya que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, usando como expresiones como pequeño, límite, etc. Si una definición precisa, esto llevo unas series de problemas lógica que hicieron evidente la necesidad crear una base rigurosa de la nueva matemática.

Los números relés como un campo

axioma de los numeroe reales

En matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.

Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas “verdades evidentes” porque permiten deducir las demás formulas.

En lógica matemática, un postulado es un proposición, no necesariamente evidente: una fórmula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

En el campo de los números reales son seis los principales axiomas que se toman, y a través de su uso y postulación, permiten el desarrollo de los teoremas que estructuran una parte de las matemáticas.

Los seis axiomas son:

Axioma 1. Si a, b ϵ , entonces a + b, ab ϵ

(Ley de cerradura para la suma y el producto)

Axioma 2. Si a, b ϵ entonces a+b = b+a y ab = ba

(Ley de conmutatividad)

Axioma 3. Si a, b, c ϵR entonces a(b+c) = (a+b)+c y a(bc) = (ab)c

(Ley de asociatividad)

Axioma 4. Si a, b, c ϵ entonces a(b + c) = ab + ac

(Ley de distributividad)

Axioma 5. Existen 0, 1 ϵ , con 0 ̸= 1, tales que: si a ϵR, entonces a+0 = a y a·1 = a

(0 se llamará Neutro aditivo y 1 se llamará Neutro multiplicativo)

Axioma 6. Si a ϵ , existe a1 ϵ tal que a + a1 = 0 y si a ϵ con a ̸= 0, entonces existe a2 ϵ tal que a · a2 = 1

(Existencia de los inversos)

TEOREMAS DE NUMEROS REALES

TEOREMA 1

En los números reales se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la suma, es decir:

i) Si x+y=x+z entonces y=z.

ii) Si y=z entonces x+y=x+z.

Demostración/:

i)
y=0+y
y=((-x)+x)+y
y=(-x)+(x+y)
y=(-x)+(x+z)
y=(-x)+(x+z)
y=((-x)+x)+z
y==0+z
y==z

La anterior demostración se justifica usando el axioma 4, el axioma 5, ley asociativa, la hipótesis, ley asociativa, el axioma 5 y el axioma 4 respectivamente.

ii) Por ley reflexiva x+z=x+z pero como z=y entonces por ley transitiva x+z= x+y.

TEOREME 2
Los neutros e inversos aditivos y multiplicativos son únicos.

Demostración/:

Supongamos que existen 01 y 02 dos neutros aditivos, entonces 01 + 02 = 01 y 02 +01 = 02 luego por ley transitiva y conmutativa 01= 01 + 02=02 +01 = 02.luego estos neutros aditivos son el mismo. (Análogamente se demuestra para el neutro multiplicativo).

Ahora supongamos que para x hay dos inversos aditivos x1 y x2 tal que x+ x1 = 0 y x+ x2 = 0 por ley transitiva tenemos que x+ x1 = x+ x2 luego por ley cancelativa x1 = x2. Luego los inversos aditivos para x real son el mismo. (Análogamente se demuestra para el inverso multiplicativo teniendo en cuenta que x≠0)

TEOREMA 3
En los números reales distintos de cero se cumplen las leyes cancelativas y uniforme con la multiplicación, es decir:

i)Six•y=x•zentoncesy=z.
ii) Si y=z entonces x•y=x•z.

Demostración/:
La denostación es análoga a la del Teorema1

TEOREMA 4

-0=0.

Demostración/:
Tenemos que 0+ (-0) = 0 y 0+0 = 0 luego por ley transitiva 0+ (-0) = 0+0, finalmente por ley cancelativa 0 = -0.

TEOREMA 5
Para x real se cumple: -(-x)= x.

Demostración/:

– (-x) = 0+ (– (-x))=(x+ (-x))+ (– (-x))= x+ ((-x)+ (– (-x)))= x+0=podemos ver que usamos los axiomas 4 y 5 y el hecho de que (– (-x)) es el inverso aditivo de (-x).

LEMA

Para toda x real se cumple: x•0=0•x=0.
Demostración/:
x•0=x• (0+0) = x•0+x•0, luego x•0 = x•0+x•0 y por ley cancelativa 0 = x•0 ò x•0=0, de la misma forma demostramos que 0•x=0, por lo que concluimos que x•0=0•x=0.

TEOREMA 6
Para x, y reales se cumple: (-x) •y= x• (-y) = -(x•y).

Demostración/:
Por lema 0=0•y=(x+(-x)) 0•y = x•y+(-x) •y, entonces 0= x•y+(-x)•y y por ley uniforme se puede sumar -(x•y) y tenemos que -(x•y) = (-(x•y))+x•y+(-x)•y luego (x•y))+x•y=0 por lo que se tiene que: -(x•y) = 0+(-x)•y =+(-x)•y. Análogamente se demuestra que x•(-y)= -(x•y).

TEOREMA 7
Para x≠0 real se cumple: 1/(1/x)= x.

Demostración/:

Esta demostración es parecida al teorema 5.

TEOREMA 8
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x•y)= (1/x) • (1/y).

Demostración/:

1/(x•y)=1•1•1/(x•y)
1/(x•y)=(x•(1/x))•(y•(1/y))•1/(x•y)
1/(x•y)=(x•y)•((1/x)•(1/y))•1/(x•y)
1/(x•y)=((1/x)•(1/y))•((x•y)•1/(x•y))
1/(x•y)=(1/x)•(1/y).
Aquí hemos usando en repetidas ocasiones propiedades como la ley conmutativa y asociativa para el producto y la existencia de los neutros e inversos multiplicativos.

TEOREMA 9
Para x, y reales distintos de cero se cumple: 1/(x/y)= y/x.

Demostración/:
Aquí vemos como los Teoremas 7 y 8 son usados junto con las propiedades conmutativa y asociativa del producto para demostrar lo requerido.

1/(x/y)= 1/(x • (1/y))= (1/x) • (1/(1/y))= (1/x) •y = y/x.

TEOREMA 10
Para x, z reales y w, y reales distintos de cero se cumple

: X/y + z/w = (x•w+ z•y)/ y•w.

Demostración/:
(x/y)+(z/w)=(x/y+z/w)•1
(x/y)+(z/w)=(x/y+z/w)•((y•w)(1/y•w))
(x/y)+(z/w)=((x/y+z/w)(y•w))(1/y•w)
(x/y)+(z/w)=(x/y•(y•w)+z/w•(y•w))(1/y•w)
(x/y)+(z/w)=(x•w+y•z)(1/y•w)
(x/y)+(z/w)=(x•w+y•z)/(y•w)
Note que en esta demostración usamos los axiomas 2, 3, 6 y 7.

TEOREMA 11
Para x, z real y w, y reales distintos de cero se cumple:

(X/y)• (z/w)= (x•z)/ (y•w).

Demostración/:

Al igual que en el teorema anterior aquí usamos la definición 5 los axiomas 2, 3 y los teoremas 8 y 9.
(x/y)•(z/w)=((x/y)•z)/w
(x/y)•(z/w)= ((x•(1/y))•z)/w
(x/y)•(z/w)= (x•((1/y)•z)/w
(x/y)•(z/w)= (x•(z/y))/w
(x/y)•(z/w)= ((x•z)/y)/w
(x/y)•(z/w)= x•z/y•w.

TEOREMA 12
Para x, y y z reales se cumple: x>y si y solo si x+z>y+z.

Demostración/:
Sea a= x+z y b= y+z, entonces a-b=(x+z)-(y+z)=x-y como a>b si y solo si a-b>0 y por transitividad de a>b se deduce que x+z>y+z.
Por otro lado veamos que x+z > y+z si y solo si (x+z)-(y+z) >0 luego x-y >0 x>y.

ii) 0>x si y solo si 0> (1/x). TEOREMA 13

Para x, y y z reales con z distinto de cero se cumple:

i) x>y si y solo si x•z>y•z con z>0.

ii) x>y si y solo si y•z > x•z con 0>z.
Demostración/:

Si x>y si y solo si x-y >0 por lo tanto x-y es positivo, si z>0 entonces z también es positivo y por los axiomas de orden vemos que (x-y)•z es positivo si y solo si (x-y)•z >0
Si y solo si x •z -y•z>0 si y solo si x •z >y•z.

Si x>y si y solo si x-y >0 por lo tanto x-y es positivo, 0>z entonces (-z)>0 usando el mismo razonamiento que en i) llegamos a que y•z-x•z>0 si y solo si y•z >x•z.ii) se deduce de la misma forma.

TEOREMA 14
Para x, y reales distintos de cero se cumple:

i) Si x•y>0 con x>0 entonces y>0.
ii) Si x•y>0 con 0>x entonces 0>y.
iii) Si 0> x•y con x>0 entonces 0>y.
iv) Si 0> x•y con 0>x entonces y>0.

Demostración/:
Supongamos que no se cumple la tesis, es decir, 0>y como x>0 entonces por teorema 13 0>x•y llegando a la contradicción de la hipótesis o sea que lo afirmamos anteriormente es falso, llegando a la demostración del teorema (análogamente se demuestra para ii), iii) y iv).

TEOREMA 15
Para x≠0 real se cumple: x²>0.

Demostración/:

Si x>0 entonces x es positivo luego y·w=x² es positivo si y solo si x²>0.Si 0>x entonces (-x) es positivo luego (-x)•(-x)=(-x)² es positivo si y solo si (-x)²>0.Pero (-x)•(-x)=-(x•(-x))=-(-(x•x))=x•x=x² por teorema 6, con lo que vemos que (-x)•(-x)= x²>0.

TEOREMA 16
Para x≠0 real se cumple:
i) x>0 si y solo si (1/x)>0.

                       Razones y proposiciones

Definición de razón

Una razón matemática es el cociente entre dos medidas de diferentes magnitudes. Generalmente, se expresa como «a es a b».

En una razón al primer término se le llama antecedente y al segundo se llama consecuente.

                            a           Antecedente

                            b            Consecuente

DEFINICION DE PROPORSICION

De proposición La proporción muestra los tamaños relativos de dos o más valores.
Las proporciones pueden mostrarse de diferentes maneras. Usando el ":" para separar los valores, o como un solo número dividiendo un valor para el total.

Ejemplo: si hay un niño y tres niñas la proporción podría escribirse así:

1:3 (por cada niño hay 3 niñas)
1/4 son niños y 3/4 son niñas
0.25 son niños (dividiendo 1 por 4)
25% son niños (0.25 como porcentaje)



PROPIEDADES DE LA PROPOSICIONES

Propiedad 1: en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente.

a = c   → a + b = c + d

b     d            b          d

a = c → a - b = c - d

b     d          b          d

Propiedad 2 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente .

a = c → a + b = c + d

b     d          a          c

a = c → a - b = c - d

b     d          a          c

Propiedad 3 : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos .

a = c → a + b = c + d

b     d        a - b       c - d

intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

[a, b) = {x / a ≤ x < b}

queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión Cuando) entre ellos.

                  operaciones com intervalos

                                 Ecuaciones

Según los expertos en Matemática, una ecuación (concepto derivado del latín aequatio) constituye una igualdad donde aparece como mínimo una incógnita que exige ser develada por quien resuelve el ejercicio. Se conoce como miembros a cada una de las expresiones algébricas que permiten conocer los datos (es decir, los valores ya conocidos) y las incógnitas (los valores que no se han descubierto) vinculados a través de diversas operaciones matemáticas.

Cabe resaltar que los datos incluidos en una ecuación pueden ser números, constantes, coeficientes o variables. Las incógnitas, por su parte, están representadas por letras que sustituyen al valor que se intenta hallar.

Una ecuación sencilla es la siguiente:

4 + x = 9

En dicha ecuación, 4 y 9 son los datos, mientras que x es la incógnita. La ecuación puede resolverse de la siguiente forma:

4 + x = 9

x = 9 – 4

x = 5

El valor de la incógnita, por lo tanto, es 5.

                                 Tipos de ecuaciones

Ecuaciones algebraicas: este tipo de ecuaciones, como su nombre lo indica, son todas aquellas que se basan en operaciones algebraicas y que tienen un cuerpo del tipo P=0. Este tipo de ecuaciones son las más comunes.

Ecuaciones polinómicas: este tipo de ecuaciones son en realidad parte de las algebraicas. Se caracterizan porque el polinomio, como su nombre lo indica, es un elemento que tiene diversas variables. Es decir, son las ecuaciones que tienen coeficientes racionales o cuya operación se hace así.

Ecuaciones de primer grado: las ecuaciones de este tipo se definen como aquellas que presentan un planteamiento de igualdad donde existe una o más variables a la primera potencia. Por lo tanto, las ecuaciones de este tipo se resuelven únicamente con sumas y restas de variables que están expresadas a la primera potencia. También son conocidas como ecuaciones lineales.

Ecuaciones de segundo grado: como su nombre lo indica, este tipo de ecuaciones son aquellas que tienen la forma de una suma algebraica cuyo grado máximo es dos. Esto quiere decir que están representadas por un polinomio de segundo grado o cuadrático. Es por ello que a este tipo de ecuaciones también se les conoce como cuadráticas.

Ecuaciones diofánticas: son las ecuaciones que tienen generalmente distintas variables que se plantean según número enteros o naturales. De esta manera, las ecuaciones diofánticas tienen una solución expresada en números enteros.

Ecuaciones racionales: este tipo de ecuaciones son aquellas que tienen una o más incógnitas que no son únicamente algebraicas sino que pueden ser de otro tipo, aunque su solución únicamente se puede hacer mediante el álgebra.

Ecuaciones diferenciales: son el tipo de ecuación que cuyas derivadas que tienen una o más funciones desconocidas. A su vez, este tipo de ecuaciones se subdividen en ordinarias y parciales.

Ecuaciones integrales: como su nombre lo establece, este tipo de ecuaciones se caracterizan porque su incógnita aparece dentro de una integral.



Ecuaciones funcionales: este tipo de ecuaciones son muy similares a las integrales. En ellas se de una combinación de variables independientes y funciones incógnitas. En este caso se trata de ecuaciones que muchas veces no pueden ser reducidas a resoluciones algebraicas como tal.
                         Proceso para resolver una ecuacion
El conjunto solución es aquel que contiene todos los valores determinados que cumplen con la ecuación, y estos valores son denominados soluciones. Por ejemplo, la ecuación

$3x-2=1$
tiene a $\mathcal{S} = \{ 1 \}$ como su conjunto solución, con 1 como única solución de la ecuación.
En general, dada $f : A \to B$ una función, y $f(x) = b$ la ecuación que determina.
El conjunto $\mathcal{S} = \{a_1, a_2, \dots\}$ de valores de A es el conjunto solución si se cumple $f(a_i) = b$ , para los $a_i$ pertenecientes a

                    inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

Resolución de inecuaciones de primer grado

1º Quitar paréntesis.

2º Quitar denominadores.

3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.

4º Efectuar las operaciones

5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.

6º Despejamos la incógnita.

Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:

De forma gráfica

Como un intervalo

Clasificacion de inecuaciones

Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.

Son desigualdades en las que aparecen letras y números con las operaciones usuales. Las letras son las variables o incógnitas de las inecuaciones.

Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo de inecuación incondicional: $|x| \le |x|+|y|$ .

Ejemplo de inecuación condicional: $-2x+7<2$ .

Procesos de solociones de inecuaciones

La ecuación parece complicada; pero en realidad es una ecuación de primer grado con una variable, ya que se puede transformar en esta ecuación equivalente: 7x-18=0

Hemos resuelto muchas ecuaciones de este tipo y hemos visto que siempre tienen una solución. Desde el punto de vista matemático, hemos resuelto esencialmente el problema de solucionar ecuaciones de primer grado con una variable.

En este apartado consideraremos el siguiente tipo de ecuaciones polinomiales, que reciben el nombre de ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma: , donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.

                               VALOR ABSOLUTO

Definicion de valor absoluto
La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor que 0 y nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los números opuestos es el mismo. 8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor absoluto: |8|.
También se puede entender al valor absoluto como la distancia que existe entre el número y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica, a la misma distancia del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: |563|.
La distancia que existe entre dos numeros reales, por otra parte, es el valor absoluto de su diferencia. Entre 8 y 5, por ejemplo, hay una distancia de 3. Esta diferencia tiene un valor absoluto de |3|.

Propiedades fundamentales

$|a| \ge 0$ No negatividad

$|a| = 0 \iff a = 0$ Definición positiva

$|ab| = |a| |b|\,$ Propiedad multiplicativa

$|a+b| \le |a| + |b|$ Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)

Usando la definición de valor absoluto se tiene:

$\vert x+5\vert = \left\{\begin{array}{lcl} x+5 & \mbox{ si } & x+5 \geq 0\\ \\ \par -(x+5) & \mbox{ si } & x+5 < 0 \end{array} \right.$

Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c

MATEMATICAS

Prueba slider 1

Prueba slide 2

Prueba slider 3

PRUEBA SLIDER 4

jueves, 25 de junio de 2015

NUMEROS REALES

Intervalo abierto

Intervalo cerrado

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la derecha

Resolución de inecuaciones de primer grado

Clasificacion de inecuaciones

Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.

Son desigualdades en las que aparecen letras y números con las operaciones usuales. Las letras son las variables o incógnitas de las inecuaciones.

Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Procesos de solociones de inecuaciones

VALOR ABSOLUTO

Definicion de valor absoluto

Propiedades fundamentales

<	menor que	2x − 1 < 7
≤	menor o igual que	2x − 1 ≤ 7
>	mayor que	2x − 1 > 7
≥	mayor o igual que	2x − 1 ≥ 7

$\|a\| \ge 0$	No negatividad
$\|a\| = 0 \iff a = 0$	Definición positiva
$\|ab\| = \|a\| \|b\|\,$	Propiedad multiplicativa
$\|a+b\| \le \|a\| + \|b\|$	Desigualdad triangular (Véase también Propiedad aditiva)