MATRISES

RESEÑA HISTORICA 

HISTORIA DE LAS MATRICES

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. SylvesterEl desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,.

CLASES DE MATRICES 

DEFINICIÓN DE MATRICES 

  Una matriz es un arreglo de números reales distribuidos en filas(donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz)  y columnas,(es cada una de las líneas verticales de la matriz). cual están encerrados en paréntesis o corchetes.  Las matrices generalmente se denotan con letras mayúsculas.

Ejemplos:

                         

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES DE LAS MATRICES

MATRIZ FILA:Una matriz fila está constituida por una sola fila pero varias columnas y su orden es 1xn

Ej A= 1X4 (2 3 5 2)

 MATRIZ COLUMNA: Esta formada por una sola columna pero varias filas y su orden es nx1

Ej K=4X1 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

MATRIZ RECTANGULAR: tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

 

                                                                                                                                                                                                                               







MATRIZ CUADRADA: tiene el mismo número de filas que de columnas es decir nxm   m=n.
                                           A= 3x3




CONCEPTOS ASOCIADOS 

DIAGONAL PRINCIPAL: Los elementos de la forma a i j constituyen la diagonal principal donde i=j.
A=4x4




DIAGONAL SECUNDARIA:forman los elementos con i+j=n+1
A=4X4



LA TRAZA: Es la suma de los elementos de la diagonal principal y se denota.




MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR : Es una matriz cuadrada que tiene  los elementos situados por debajo de la diagonal principal son iguales a ceros esto es a,i,j=0 si es mayor a J.
S=3x3





MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR:  Es una matriz cuadrada  que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal igual a 0 si i<1
H =4x4


MATRIZ NULA: Es una matriz en las que todo los elementos son iguales a 0 y se lo representa 
omxn
A=3X3



MATRIZ DIAGONAL: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y  abajo de la diagonal principal= 0

a, i, j= i ≠ j



MATRIZ ESCALAR: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus  elementos sobre y bajo la diagonal principal igual a cero y los elementos de la diagonal principal son iguales entre si.

A=3x3

MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz cuadrada que tiene sus elementos iguales a cero excepto los de la diagonal principal que son iguales a uno y se denota Imxn.

^{OPERACIONES ENTRE MATRICES} 

^{SUMA ENTRE MATRICES}

 Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij).La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

DIFERENCIA ENTRE MATRICES 

 Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz resta como A-B=(a_ij+b_ij).La matriz resta se obtienen restando  los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR 

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

MULTIPLICACIÓN ENTRE MATRICES 

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

POTENCIA ENTRE MATRICES 

IGUALDAD ENTRE MATRICES 

Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa su misma posición. Es decir:

M_m,n  

DETERMINANTES 

MÉTODOS PARA ENCONTRAR LA DETERMINANTE DE UNA MATRIZ 

El determinante de una matriz suele utilizarse con frecuencia en operaciones de cálculo, álgebra lineal y geometría descriptiva a un nivel más complejo. Fuera del mundo académico, los ingenieros y los programadores gráficos utilizas las matrices y sus determinantes constantemente.^[1] Si sabes cómo hallar el determinante de una matriz de 2x2, las únicas herramientas que tendrás que utilizar serán la suma, la resta y la multiplicación.

NUMEROS CONPLEJOS

Números complejos

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

Gracias a esta particularidad, los números complejos se emplean en diversos campos de las matemáticas, en la física y en la ingeniería. Por su capacidad para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas, por citar un caso, son utilizados con frecuencia en la electrónica y las telecomunicaciones. Y es que el llamado análisis complejo, o sea la teoría de las funciones de este tipo, se considera una de las facetas más ricas de las matemáticas.

Cabe resaltar que el cuerpo de cada número real está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).

Los números complejos componen el denominado cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el correspondiente complejo (a, 0), el cuerpo de estos números reales (R) se transforma en un su cuerpo de C. Por otra parte, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no admiten la posibilidad de mantener un orden, a diferencia de los números reales.

Representación

Definición de números complejo

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

• Suma

• Producto por escalar

• Multiplicación

• Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

• Resta

• División

unidad imaginaria

La unidad imaginaria es el número  y se designa por la letra i.

Potencias

FORMA RECTANGULAR DE UN NUMERO COMPLEJO 

Forma rectangular= z=a+bi

CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO 


OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS 

-SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS

La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a+ bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Propiedades de la suma

La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa, asociativa, distributiva y elemento neutro. 

Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4 

Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4) 

Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por ejemplo 5 + 0 = 5. 

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3

-RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

La diferencia de números complejos se realiza restando partes reales e imaginarias entre sí (se resuelve de la misma forma que la suma)

( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

-MULTIPLICACIÓN ENTRE NÚMEROS COMPLEJO

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

-DIVISIÓN  DE UN  NÚMERO COMPLEJO