TRIGONOMETRIA

RESEÑA HISTÓRICA

La trigonometría es una rama de las matemáticas que fue desarrollada por astrónomos griegos, quienes consideraban al cielo como el interior de una esfera. Aún cuando su significado etimológico nos indica que se relaciona con la medición de los triángulos, sus aplicaciones son muy diversas ya que estas técnicas son usadas para medir distancias a estrellas próximas, entre puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélites. El traslado de la trigonometría astronómica a las matemáticas fue realizado por Regiomontano y mejorado por Copérnico y su alumno Rheticus. En la obra de Rheticus se definen las seis funciones trigonométricas como razones entre las longitudes de los lados de los triángulos, aunque no les dio sus nombres actuales. El mérito de esto se lo lleva Thomas Fincke, aunque la notación que utilizó no fue aceptada universalmente. La notación que quedó establecida fue la de Leonard Euler. Desde entonces, la trigonometría ha venido evolucionando, siendo utilizada por agrimensores, navegantes e ingenieros, hasta las aplicaciones actuales como el movimiento de las mareas en el océano, la variación de los recursos alimenticios bajo ciertas condiciones ecológicas, el movimiento pendular, patrones de ondas cerebrales, latidos del corazón, corrientes eléctricas, temblores y otros fenómenos. En el desarrollo de las funciones trigonométricas se han contemplado dos aspectos fundamentales. El primero está relacionado con el empleo de circunferencias; y, el segundo está basado en triángulos rectángulos.

 

ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

Es la unión de dos semirrectas que se intersecan en su extremo.

Una de las semirrectas se conoce como el lado inicial del ángulo, mientras que la otra recibe el nombre de lado terminal o final. El extremo donde se intersecan las semirrectas se denomina vértice del ángulo. Se puede designar a los ángulos, por medio de puntos de las semirrectas o utilizando solamente el vértice, si es que no hay confusión. Por ejemplo:

Se acostumbra designar a la medida de los ángulos con letras del alfabeto griego: α, β, γ, θ, ω entre otras.

Si se considera una región del plano con un recorrido desde el lado inicial del ángulo hasta el lado final, siguiendo el sentido contrario de las manecillas del reloj, por convención la medida del ángulo es positiva. Si dicho recorrido se realiza en sentido de las manecillas del reloj, la medida es negativa.

Unidades angulares

En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografia, arquitectura o en construccion.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.
Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.
Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimale

SEMIRRECTA

Es la parte de una recta

ANGULO

Es la unión de dos semirrectas que se interceptan una de las rectas se conoce como lado inicial al angulo y la otra recibe  el nombre de lado terminal.

  

La medida del angulo puede ser positiva o negativa 

Positiva

si  es el sentido contrario de las manecillas del reloj

Negativa 

A favor de las manecillas del reloj 

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 

Sea p(a,b)  un punto sobre la circunferencia de radio unitario  y X  el angulo en posición estándar que forma el segmento OP con el semieje ,X.   

Para las Funciones Trigonométricas, como se mencionó anteriormente, haremos uso del Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones de Seno, Coseno y Tangente, y sus inversas.

Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras, las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los Ángulos del Triángulo.

Empezaremos a ver cada una de las Funciones:

1. Función Seno ( Sen): La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

2. Función Coseno ( Cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

3. Función Tangente ( Tan): Ésta Función nos representa la relación entre Lado adyacente sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:

4. Función Cotangente ( Cot): Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:

5. Función Secante ( Sec): Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:

6. Función Cosecante ( CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado Opuesto:

LOS RADIANES CON SUS FUNCIONES

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

funciones 

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 

DEFINICIÓN: Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran las funciones trigonométricas que son verdaderas para cada valor de las variables involucradas. Algunas de las identidades trigonométricas más comúnmente usadas se derivan del teorema de Pitágoras.

COCIENTE -RECIPROCAS  

PITAGORAS